Resolução de Equações no Matlab
Vamos desvendar como resolver equações utilizando o Matlab. É um processo simples, então vamos lá.
Existem duas abordagens distintas para resolver equações no Matlab. A primeira utiliza polinômios e a segunda se baseia em cálculo simbólico.
A Função roots()
Primeiro, exploramos a função roots(). Essa função é utilizada para encontrar as raízes de um polinômio.
roots(P)
Insira os coeficientes numéricos da equação como parâmetro P para usá-la.
O que são raízes? São valores da variável desconhecida x que cruzam o eixo x, tornando a equação igual a zero.
Aqui vai um exemplo prático:
Considere uma equação de segundo grau com uma variável desconhecida:
$$ x^2 + 3x = 4 $$
Primeiro, transformamos a equação para a forma padrão:
$$ x^2 + 3x -4 = 0 $$
Os coeficientes numéricos de x são 1, 3 e -4, os quais organizamos em um array na ordem decrescente de grau: [1 3 -4].
>> P = [1 3 -4];
Lembre-se de inserir zero no lugar de coeficientes ausentes.
Para encontrar as soluções, utilizamos a função roots():
>> roots(P)
Isso nos fornecerá as raízes da equação, que neste exemplo são -4 e 1.
ans =
-4
1
Para confirmar as soluções, aplicamos a função polyval().
>> polyval(P,roots(P))
ans =
0
0
Com polyval([1 3 -4], roots([1 3 -4])), obtemos [0 0], confirmando que ambos os valores satisfazem a equação.
Validação. Teste a primeira solução substituindo x=-4 na equação original. $$ x^2 + 3x -4 = 0 $$ $$ (-4)^2 + 3 \cdot (-4) -4 = 0 $$ $$ 16 -12 -4 = 0 $$ $$ 0 = 0 $$ Agora, teste a segunda solução com x=1. $$ x^2 + 3x -4 = 0 $$ $$ (1)^2 + 3 \cdot 1 -4 = 0 $$ $$ 1 + 3 -4 = 0 $$ $$ 0 = 0 $$ Ambas as soluções são válidas para a equação.
E se a equação não possuir soluções reais?
Nesse caso, a função roots() fornecerá as soluções complexas da equação.
Tomemos como exemplo uma equação de quarto grau x4+3x2-2x+1=0
$$ x^4 + 3x^2 - 2x +1 = 0 $$
Utilizando roots([1 0 3 -2 1]), encontramos soluções em números complexos.
>> roots([1 0 3 -2 1])
Não se preocupe, a função roots() fornece respostas precisas mesmo para números não reais.
ans =
-0.34975 + 1.74698i
-0.34975 - 1.74698i
0.349 75 + 0.43899i
0.34975 - 0.43899i
A Função solve()
Outra ferramenta interessante no Matlab é a função "solve()", usada para resolver equações simbólicas.
solve(eqz)
Essa função é extremamente útil. Simplesmente passe a equação simbólica que deseja resolver como parâmetro para solve().
Para resolver a equação, utilizamos o cálculo simbólico, definindo as variáveis desconhecidas como símbolos, estabelecendo a equação simbólica e, então, encontrando as soluções com solve().
Veja um exemplo:
Considere uma equação de segundo grau:
$$ x^2 + 3x = 4 $$
Para resolver com solve(), transformamos a equação para a forma normal:
$$ x^2 + 3x - 4 = 0 $$
Definimos a variável desconhecida como simbólica com a função "syms".
>> syms x
Definimos a equação simbólica e a atribuímos à variável "eqz".
>> eqz = x^2+3*x-4
Por fim, aplicamos solve() para obter as soluções da equação.
>> solve(eqz)
Pronto! A função solve() encontra as soluções, que neste caso são x1=-4 e x2=1.
ans=
-4
1
Importante destacar que solve() e cálculo simbólico podem resolver equações com duas ou mais variáveis desconhecidas.
Isso torna a ferramenta extremamente poderosa para resolver qualquer tipo de equação no Matlab.
