Integral Indefinida no Matlab
Nesta explanação, proporei uma abordagem simplificada para calcular integrais indefinidas utilizando o Matlab.
Primeiramente, é fundamental compreender o conceito básico. Em matemática, a integral indefinida representa a operação inversa da derivação. Quando derivamos a função resultante de uma integral indefinida, obtemos a função original. Representada pelo símbolo ∫, temos: $$ \int f(x) \ dx = F(x)+c $$ , onde c é uma constante arbitrária. Em termos mais simples, se derivarmos F(x) + c, obteremos f(x).
Integral de um polinômio
Para calcular a integral indefinida de uma função polinomial no Matlab, emprega-se a função "polyint".
polyint(P)
Essa função requer, como entrada, um vetor de coeficientes numéricos do polinômio, organizados em ordem decrescente de expoentes.
Ilustremos com um exemplo.
Dado o polinômio:
$$ P(x) = 2x^3 + 4x + 3 $$
Para encontrar sua integral indefinida, define-se primeiro um vetor "P" com seus coeficientes:
>> P = [2 0 4 3]
O primeiro coeficiente do vetor corresponde ao termo de maior grau e assim por diante.
Para encontrar a integral indefinida de P(x), utiliza-se a função polyint:
>> polyint(P)
O resultado fornece um vetor com os coeficientes da função integrada.
Para nosso exemplo, temos: [0.5 0 2 3 0]
ans =
0.50000 0.00000 2.00000 3.00000 0.00000
O que indica:
$$ \int 2x^3 + 4x+3 \ dx = \frac{1}{2} x^4 + 2x^2 + 3x + c $$
Lembre-se: A constante c deve ser incluída manualmente.
Para confirmar o resultado, pode-se empregar a propriedade aditiva das integrais. $$ \int 2x^3 + 4x+3 \ dx $$ $$ \int 2x^3 \ dx + \int 4x \ dx + \int 3 \ dx $$ $$ \frac{1}{2}x^4 + 2x^2 + 3x + c $$
Integração de funções no Matlab
Para integrar funções matemáticas no Matlab, utilizamos a função int().
int(f,dx)
Essa função possui dois parâmetros:
- "f", a expressão matemática da função;
- "dx", a variável de integração.
Nota. Se "dx" não for especificado, "x" é assumido por padrão. A função "int()" opera através de cálculos simbólicos, portanto, é essencial definir as variáveis como símbolos usando "syms".
Por exemplo, para a função f(x)=1/x
$$ \int \frac{1}{x} \ dx $$
Define-se "x" como símbolo
>> syms x
E, em seguida, aplica-se a função int()
>> int(1/x)
O resultado é o logaritmo natural de x.
ans = log(x)
A integral indefinida da função f=1/x é log(x).
$$ \int \frac{1}{x} \ dx = \log(x) + c $$
A constante "c" é considerada implícita e você precisa adicioná-la manualmente.
E quanto a uma função com duas ou mais variáveis?
Para funções multivariadas, é crucial especificar a variável de integração.
Por exemplo, para f(x,y)=x2y2
$$ \int x^2y^2 \ dy $$
Neste caso, a variável de integração é "y".
O procedimento é similar, e os resultados são obtidos de forma prática e rápida.
syms x y
Depois, calculamos a integral em relação à variável "y", especificando-a como o segundo parâmetro da função int().
>> int(x^2*y^2,y)
O resultado é a função primitiva:
(x^2*y^3)/3
Portanto, a solução para a integral indefinida é:
$$ \int x^2y^2 \ dy = \frac{x^3y^3}{3} $$
Seguindo essas diretrizes, é possível calcular integrais indefinidas no Matlab com precisão e eficiência.
Espero que esta explanação tenha sido elucidativa.
