Aproximação racional no Matlab
Nesta lição, abordaremos o conceito de aproximação racional e suas aplicações práticas no Matlab.
Entendendo a aproximação racional: trata-se de uma técnica numérica que expressa números reais sob a forma de frações ou como uma soma de frações, o que chamamos de expressão racional.
Para implementar a aproximação racional no Matlab, utilizamos o comando rat().
rat(n)
Nesse contexto, n representa um valor numérico real.
Como isso é processado?
O método de aproximação racional converte um número real n em uma soma de frações de maneira que:
- Se n for um número racional, a soma das frações será exatamente igual ao número original.
- Se n for um número irracional, essa soma representará uma aproximação do número real.
Vamos diferenciar números reais racionais de irracionais. Os números reais incluem tanto valores positivos quanto negativos, podendo apresentar casas decimais ou não, a exemplo de 3,3; 4,138; 5 e outros. Eles são categorizados em racionais e irracionais. Os racionais são aqueles que podem ser expressos como a razão entre dois inteiros, m/q $$ n = \frac{m}{q} $$ Por exemplo, o número 2,5 é racional pois corresponde à fração 5/2. Já os números irracionais são aqueles que não podem ser expressos como uma razão de inteiros, como é o caso do valor de pi (π).
Vejamos um exemplo prático.
Aproximemos o número real utilizando a função rat(1,2) no Matlab.
>> rat(1.2)
O Matlab realizará a aproximação e a apresentará como uma soma de frações.
ans = 1 + 1/5
Nesse exemplo específico, a soma das frações é idêntica ao número real, pois 1,2 é um número racional.
Note. O número 1,2 é expressível como a razão entre dois números inteiros, caracterizando-o como racional. De forma específica, ele pode ser representado por 1.2 $$ 1.2 = \frac{12}{10}$$ ou, de maneira alternativa, por 1+1/5 $$ 1.2 = 1 + \frac{1}{5} = 1 + 0.2 $$
Prossigamos com a aproximação do número pi, cujo valor se aproxima de 3,1416.
No Matlab, isso pode ser feito através da função "rat" da seguinte forma:
>> rat(3.1416)
O Matlab nos oferecerá uma aproximação do número real na forma de uma soma de frações.
ans = 3 + 1/(7 + 1/(16 + 1/11))
Nesse caso, o resultado é uma aproximação racional, pois pi é irracional e não pode ser exatamente representado pela razão de dois números inteiros.
E como podemos ativar a aproximação racional como padrão?
Caso deseje que todas as operações na sessão atual do Matlab exibam os resultados em aproximação racional por padrão, utilize o comando format rat
>> format rat
Assim, todos os resultados serão automaticamente apresentados nesse formato, dispensando a necessidade de invocar a função "rat()" a cada uso.
Por exemplo, ao digitarmos:
>> 3.3
ans = 33/10
Para reverter ao formato convencional, simplesmente digite o comando format.
