Derivadas no Matlab
Permita-me elucidar o processo de cálculo de derivadas utilizando o Matlab.
O que entendemos por derivada? A derivada de uma função quantifica a taxa de variação da função em cada ponto de seu domínio. Essa é uma ferramenta valiosa para avaliar o comportamento de uma função, seja ela crescente ou decrescente, e até identificar pontos máximos e mínimos.
No universo da análise matemática, as derivadas ocupam um papel primordial, consolidando-se como um conceito essencial.
Derivada de um Polinômio
Ao se deparar com a necessidade de calcular a derivada de um polinômio, a função polyder() é sua aliada.
polyder(y)
Onde o parâmetro y corresponde a um vetor contendo os coeficientes numéricos do polinômio.
Ilustremos com um exemplo:
Suponha o polinômio:
$$ P(x) = 2x^3 + 4x + 3 $$
Organize um vetor com os coeficientes numéricos do polinômio, ordenados por grau:
>> P = [2 0 4 3]
Observação: Caso esta etapa pareça complexa, sugiro uma revisão sobre como definir um polinômio no Matlab.
Prossiga com o cálculo da derivada usando a função polyder():
>> polyder(P)
O resultado apresentado representa a primeira derivada do polinômio.
ans = 6 0 4
Dessa forma, a primeira derivada do polinômio é:
$$ P'(x) = \frac{d \ P(x)}{dx} = 6x^2 + 4 $$
Para certificar-se da precisão, considere que o polinômio é a soma de monômios. Assim, para derivá-lo, basta somar as derivadas dos monômios individuais. $$ P'(x) = \frac{d \ ( 2x^3 + 4x + 3)}{dx} = \frac{ d \ 2x^3}{dx} + \frac{d \ 4x}{dx} + \frac{d \ 3}{dx} = 6x^2 + 4 + 0 $$
E a segunda derivada? Como obter?
A segunda derivada do polinômio pode ser obtida iterando a função polyder():
>> d1=polyder(P);
>> d2=polyder(d1)
Ou ainda, através de uma função composta:
>> polyder(polyder(P))
Ambas as abordagens nos conduzem à segunda derivada do polinômio.
ans = 12 0
Portanto, temos:
$$ P''(x) = 12x $$
Com essa técnica, pode-se avançar para a terceira, quarta ou qualquer enésima derivada do polinômio.
Como Derivar uma Função
Para derivar uma função com uma ou múltiplas variáveis, a função diff() é o recurso adequado.
diff(função, variável, grau)
A diff() exige três parâmetros:
- O primeiro refere-se à expressão da função.
- O segundo identifica a variável a ser derivada (como x, y, etc.).
- O terceiro determina o grau de derivação.
Nota. Os parâmetros dois e três são opcionais. Caso omita a variável de derivação, a função diff() considera por padrão a variável x. E, na ausência do grau de derivação, a primeira derivada é calculada. A função diff() opera com cálculos simbólicos, então, previamente, é necessário definir as variáveis como símbolos através do comando syms.
Consideremos um exemplo.
Dada a função:
$$ f(x) = x^3 + x^2 + x $$
Primeiramente, defina o símbolo x:
syms x
Para a primeira derivada, execute:
diff(x^3+x^2+x,x,1)
Onde:
- A primeira entrada (x^3+x^2+x) é a expressão da função.
- A segunda (x) é a variável a ser derivada.
- A terceira (1) indica o grau da derivação.
Note que o operador de exponenciação é ^.
A resposta dada pela função diff() é:
ans =
3*x^2 + 2*x + 1
Ou seja:
$$ f'(x) = 3x^2 +2x+1 $$
Agora, para a segunda derivada da mesma função, ajuste o último parâmetro da função diff() para 2.
diff(x^3+x^2+x,x,2)
O resultado é a segunda derivada da função.
ans =
6*x + 2
Portanto, a segunda derivada da função é:
$$ f''(x) = 6x +2 $$
E quanto à terceira derivada? Repita o processo, mas ajuste o último parâmetro para 3.
diff(x^3+x^2+x,x,3)
O resultado é a terceira derivada da função.
ans =
6
Portanto, a terceira derivada da função é:
$$ f^{(3)}(x) = 6x +2 $$
Derivadas Parciais
O Matlab também é competente para calcular derivadas parciais.
O que é uma derivada parcial? Trata-se da derivada de uma função multivariável em relação a uma única variável, mantendo as demais constantes.
Por exemplo, dada a função:
$$ f(x,y) = x^2 y^2 $$
Defina os símbolos x e y:
syms x y
A derivada parcial da função x2y2 em relação a x é obtida por:
diff(x^2*y^2,x,1)
O resultado é:
ans
2*x*y^2
Portanto, a primeira derivada parcial da função em relação a x é:
$$ \frac{\partial \ f(x,y)}{\partial x} = 2xy^2 $$
Agora, calcule a primeira derivada parcial da função x2y2 em relação à variável y.
diff(x^2*y^2,y,1)
O resultado é a primeira derivada parcial da função.
ans
2*x^2*y
Portanto, a primeira derivada parcial da função em relação à variável y é:
$$ \frac{\partial \ f(x,y)}{ \partial y} = 2x^2y $$
Usando este método, você pode calcular as derivadas parciais de qualquer função com duas ou mais variáveis no Matlab.
