Posto de uma Matriz em Octave

Nesta lição, abordaremos um tema fundamental na álgebra linear: como calcular o posto de uma matriz utilizando o software Octave.

Mas o que exatamente é o 'posto'? Em termos simples, o posto de uma matriz representa o maior número de linhas ou colunas que são linearmente independentes dentro dessa matriz. Podemos interpretá-lo também como a dimensão do espaço vetorial que é gerado pelos vetores coluna. Para ilustrar, considere a seguinte matriz que tem apenas uma coluna linearmente independente: $$ rank \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = 1 $$ Neste caso, os dois vetores que compõem a coluna são linearmente dependentes entre si, uma vez que cada vetor na coluna pode ser obtido como um múltiplo do outro: $$ \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Agora, vamos a um exemplo prático.

Vamos definir uma matriz 3x3, composta por três linhas e três colunas, e vamos atribuí-la à variável 'M'

>> M = [ 1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 9 ]
M =
1 2 3
4 5 6
7 8 9

Para encontrar o posto da matriz, usamos a função rank(M)

>> rank(M)
ans = 2

Assim, concluímos que o posto desta matriz é igual a 2.

Para confirmar este resultado, realizamos uma verificação: calculamos o determinante da matriz 3x3. Se este determinante for igual a zero, como é o caso: $$ \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} = 0 $$ Podemos concluir que a matriz não pode ter posto igual a 3. Neste momento, torna-se necessário verificar a existência de uma submatriz 2x2 com determinante diferente de zero dentro da matriz: $$ \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = 5 - 8 = -3 $$ Como encontramos uma submatriz 2x2 com determinante não nulo, fica confirmado que o posto da matriz 'M' é, de fato, igual a 2.