Polinômio característico utilizando o Octave

Nesta explanação, vamos compreender como calcular o polinômio característico de uma matriz quadrada ao utilizar o Octave.

Antes de tudo, você deve estar se perguntando: o que é um polinômio característico? Bem, o polinômio característico de uma matriz quadrada A é calculado através da seguinte fórmula: $$ p_A ( \lambda ) = \det(A - \lambda \cdot Id_n ) $$ Basicamente, representa o determinante da diferença entre uma matriz quadrada A e uma matriz identidade Idn de mesma ordem (n), multiplicada por uma variável lambda (λ). E para que serve? O polinômio característico tem grande utilidade para calcular autovalores.

Agora, permita-me ilustrar com um exemplo prático.

Primeiro, vamos criar uma matriz quadrada na variável M:

>> M=[2 1;0 1]
M =
2 1
0 1

Estamos lidando com uma matriz 2x2, portanto, possui duas linhas e duas colunas.

$$ M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Em seguida, insira o comando poly(M) para calcular o polinômio característico da matriz M:

>> poly(M)
ans =
1 -3 2

O resultado exibido será uma sequência de números: 1, -3, 2.

Esses números são os coeficientes da variável lambda (λ) no polinômio característico:

$$ 1 \cdot \lambda^2 - 3 \cdot \lambda^1 + 2 \cdot \lambda^0 $$

Vale lembrar: os números apresentados são os coeficientes da variável lambda (λ) com o grau em ordem decrescente. O último número da sequência corresponde ao coeficiente da variável de grau zero (λ⁰). O penúltimo é o coeficiente de grau um (λ¹) e assim por diante.

$$ \lambda^2 - 3 \lambda^1 + 2 \cdot 1 $$

$$ \lambda^2 - 3 \lambda + 2 $$

E então, chegamos ao resultado final, que é o polinômio característico da matriz M:

$$ p_M ( \lambda ) = \lambda^2 - 3 \lambda + 2 $$

Agora, como podemos verificar a correção dos cálculos? Realizando o cálculo do polinômio característico passo a passo:$$ p_M ( \lambda ) = \det(M - \lambda \cdot Id_n ) $$ $$ p_M ( \lambda ) = \det [ \ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \ ] $$ $$ p_M ( \lambda ) = \det [ \ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} \ ] $$ $$ p_M ( \lambda ) = \det \ \begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 0 & 1-\lambda \end{pmatrix} $$ $$ p_M ( \lambda ) = (2-\lambda) \cdot (1-\lambda) - 1 \cdot 0 $$ $$ p_M ( \lambda ) = 2 - 2 \lambda - \lambda + \lambda^2 $$ $$ p_M ( \lambda ) = \lambda^2 - 3 \lambda + 2 $$ O resultado final está correto. É o mesmo polinômio característico calculado com a função poly(M).