Autovalores de uma matriz no Octave

Nesta lição, apresentarei a forma adequada de calcular os autovalores de uma matriz no Matlab.

O que são autovalores? Os autovalores são as soluções da equação característica associada a uma matriz quadrada.

Vou fornecer um exemplo prático.

Primeiramente, crie uma matriz quadrada 2x2 e atribua-a à variável M.

>> M = [ 1 2 ; 0 3 ]
M =
1 2
0 3

Em seguida, digite "eig(M)" na linha de comando para calcular os autovalores da matriz quadrada M.

>> eig(M)
ans =
1
3

Os autovalores da matriz quadrada M são os escalares 1 e 3.

Vamos realizar uma verificação. Analisaremos se o resultado está correto. A matriz quadrada utilizada no exemplo é a seguinte M $$ M = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} $$ O polinômio característico PM(λ) da matriz M é definido pelo determinante de M-λ · Id $$ P_M(λ) = \det(M-\lambda \cdot Id) $$ onde M é a matriz quadrada, Id é uma matriz identidade de mesma ordem e λ é uma variável desconhecida. $$ P_M(λ) = \det [ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} -\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ] $$ $$ P_M(λ) = \det [ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} ] $$ $$ P_M(λ) = \det \begin{pmatrix} 1- \lambda & 2 \\ 0 & 3-\lambda \end{pmatrix} $$ $$ P_M(λ) = (1-\lambda) \cdot (3-\lambda)$$ $$ P_M(λ) = 3 - \lambda - 3 \lambda + \lambda^2 $$ $$ P_M(λ) = \lambda^2 - 4 \lambda + 3 $$ A equação característica da matriz é o polinômio característico P(x) = 0 igual a zero $$ P_M(λ) = 0 $$ $$ \lambda^2 - 4 \lambda + 3 = 0 $$ Os autovalores são as soluções da equação característica. Neste caso, a equação característica é uma equação de segundo. $$ \lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$ $$ \lambda = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2-4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} $$ $$ \lambda = \frac{4 \pm \sqrt{16-12}}{2} $$ $$ \lambda = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} $$ $$ \lambda = \frac{4 \pm 2}{2} = \begin{cases} \lambda_1 = \frac{4-2}{2} = 1 \\ \\ \lambda_2 = \frac{4+2}{2} = 3 \end{cases} $$ Em conclusão, os autovalores da matriz M são os escalares 1 e 3. O resultado está correto.