Como resolver um sistema de equações no Octave

Nesta lição, vou lhe ensinar a resolver um sistema de equações lineares utilizando o Octave e aprimorando nossas habilidades com cálculos matriciais e vetoriais.

Vamos abordar isso com um exemplo prático.

Considere o sistema de equações composto por duas equações lineares com duas incógnitas:

$$ \begin{cases} x+5y-3 = 0 \\ \\ 2x-4y+8=0 \end{cases} $$

Primeiro, colocamos o sistema na forma geral ax+by=c

$$ \begin{cases} x+5y=3 \\ \\ 2x-4y=-8 \end{cases} $$

Depois, transpomos o sistema de equações para uma equação vetorial

$$ \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 2 & -4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -8 \end{pmatrix} $$

A matriz inicial é a matriz dos coeficientes das variáveis x e y

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 2 & -4 \end{pmatrix} $$

No Octave, definimos a matriz dos coeficientes digitando A=[1,5; 2,-4]

>> A = [ 1 , 5 ; 2 , -4 ]
A =
1 5
2 --4

O primeiro vetor coluna é o vetor das incógnitas

Os valores das variáveis que estamos tentando encontrar são

$$ \vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

O segundo vetor coluna é o vetor dos termos independentes

$$ \vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ -8 \end{pmatrix} $$

No Octave, definimos o vetor coluna dos termos independentes digitando b=[3; -8]

>> b = [ 3 ; -8 ]
b =
3
-8

Em forma vetorial, o sistema de equações torna-se o produto de uma matriz por um vetor

$$ A \cdot \vec{x} = \vec{b} $$

Para encontrar as soluções do sistema, determinamos o vetor x em função das demais variáveis

$$ \vec{x} = A^{-1} \cdot \vec{b} $$

Onde A^-1 é a matriz inversa da matriz de coeficientes A.

Vamos então calcular a expressão A^-1·b no Octave

>> inv(A)*b
ans =
-2
1

O resultado são os valores de x e y no vetor de incógnitas

$$ \vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Encontramos assim a solução do sistema de equações

$$ x=-2 $$

$$ y=1 $$

Logo, o sistema de equações admite a solução (x;y)=(-2;1)

Vamos verificar se a solução está correta. Substitua x=-2 e y=1 no sistema de equações: $$ \begin{cases} x+5y=3 \\ \\ 2x-4y=-8 \end{cases} $$ Após substituição, obtemos $$ \begin{cases} -2 + 5 \cdot 1 =3 \\ \\ 2 \cdot (-2) -4 \cdot 1 =-8 \end{cases} $$ Verificamos então que $$ \begin{cases} 3 =3 \\ \\ -8 =-8 \end{cases} $$ As duas equações do sistema são satisfeitas. Portanto, a solução encontrada x=-2 e y=1 está correta.