Posto ou característica de uma matriz no Matlab

Nesta lição, abordaremos como calcular o posto ou característica de uma matriz utilizando o Matlab.

O que é o posto de uma matriz? O posto de uma matriz refere-se ao maior número de linhas ou colunas que são linearmente independentes entre si. Este conceito é fundamental, pois indica a dimensão do espaço vetorial formado pelos vetores coluna da matriz. Por exemplo, se uma matriz possui apenas uma coluna linearmente independente, seu posto será 1: $$ posto \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = 1 $$ Isso se deve ao fato de que as duas colunas são linearmente dependentes, onde uma pode ser expressa como um múltiplo da outra: $$ \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Para ilustrar, vamos a um exemplo prático.

Primeiro, criaremos uma matriz 3x3 com três linhas e três colunas:

>> M = [ 1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 9 ]
M =
1 2 3
4 5 6
7 8 9

Para determinar o posto desta matriz, utilizamos o comando posto(M).

>> posto(M)
ans = 2

Assim, concluímos que o posto da matriz é 2.

Verificação. É possível verificar manualmente o resultado. O determinante de uma matriz 3x3 é zero: $$ \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} = 0 $$ Portanto, a matriz não pode ter posto 3. A seguir, verificamos se existe uma submatriz 2x2 com determinante não nulo. $$ \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = 5 - 8 = -3 $$ Esta submatriz possui um determinante não nulo, confirmando que o posto da matriz M é de fato 2.