Polinômio Característico de Matrizes no Matlab

Nesta lição, exploraremos o cálculo do polinômio característico de uma matriz utilizando o Matlab.

O que é o polinômio característico? Trata-se do determinante resultante da subtração de uma matriz quadrada A por uma matriz identidade Idn, ambas com o mesmo número de linhas e colunas (n), multiplicado pela variável lambda (λ). $$ p_A ( \lambda ) = \det(A - \lambda \cdot Id_n ) $$ Esse conceito é fundamental para a determinação dos autovalores de uma matriz.

Abordaremos um exemplo prático para elucidar o conceito.

Comecemos criando uma matriz quadrada 2x2 na variável M.

>> M=[2 1;0 1]
M =
2 1
0 1

Esta matriz possui duas linhas e duas colunas.

$$ M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Para obter o polinômio característico da matriz M, utilizamos a função poly(M).

>> poly(M)
ans =
1 -3 2

A função nos retorna uma sequência numérica: 1, -3, 2.

Estes números representam os coeficientes da variável lambda (λ) no polinômio característico, ordenados de acordo com seus graus, do maior para o menor.

$$ 1 \cdot \lambda^2 - 3 \cdot \lambda^1 + 2 \cdot \lambda^0 $$

Observação: O último número na sequência corresponde ao coeficiente de lambda elevado a zero (λ⁰), o penúltimo ao lambda elevado a um (λ¹), e assim sucessivamente.

$$ \lambda^2 - 3 \lambda^1 + 2 \cdot 1 $$

$$ \lambda^2 - 3 \lambda + 2 $$

Com isso, chegamos ao polinômio característico da matriz M.

$$ p_M ( \lambda ) = \lambda^2 - 3 \lambda + 2 $$

Confirmação: Uma boa prática é verificar o resultado manualmente. $$ p_M ( \lambda ) = \det(M - \lambda \cdot Id_n ) $$ $$ p_M ( \lambda ) = \det [ \ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \ ] $$ $$ p_M ( \lambda ) = \det [ \ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} \ ] $$ $$ p_M ( \lambda ) = \det \ \begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 0 & 1-\lambda \end{pmatrix} $$ $$ p_M ( \lambda ) = (2-\lambda) \cdot (1-\lambda) - 1 \cdot 0 $$ $$ p_M ( \lambda ) = 2 - 2 \lambda - \lambda + \lambda^2 $$ $$ p_M ( \lambda ) = \lambda^2 - 3 \lambda + 2 $$ O resultado confirma o obtido pela função poly(M), validando sua precisão.