Matrizes triangulares no Matlab

Nesta aula, exploraremos a criação de matrizes triangulares usando o Matlab, uma ferramenta essencial para quem trabalha com matemática computacional.

O que caracteriza uma matriz triangular? Uma matriz é considerada triangular quando seus elementos não-nulos estão restritos à diagonal principal e, ou acima dela (no caso de uma matriz triangular superior), ou abaixo dela (no caso de uma matriz triangular inferior). Os demais elementos são zerados. Por exemplo, a seguinte matriz é um exemplo de matriz triangular inferior: $$ T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} $$ Já esta é uma matriz triangular superior: $$ T = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} $$

Vejamos um exemplo prático para ilustrar melhor.

Primeiro, vamos criar uma matriz quadrada de ordem 3, com três linhas e três colunas:

>> M=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]
M =
1 2 3
4 5 6
7 8 9

Ao digitarmos triu(M), convertemos a matriz M em uma matriz triangular superior.

A função triu() é projetada para transformar todos os elementos abaixo da diagonal principal de M em zeros:

>> triu(M)
ans =
1 2 3
0 5 6
0 0 9

Para criar uma matriz triangular inferior, utilizamos a função tril(M).

Com tril(), os elementos acima da diagonal principal de M serão zerados:

>> tril(M)
ans =
1 0 0
4 5 0
7 8 9

Assim, é possível gerar matrizes triangulares superiores e inferiores a partir de qualquer matriz quadrada.

No Matlab, as funções triu() e tril() podem ser aplicadas também em matrizes retangulares.

Como exemplo, crie uma matriz retangular 3x4, com três linhas e quatro colunas:

>> M2=[1 1 1 1; 2 2 2 2; 3 3 3 3]
M2 =
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3

Ao executarmos triu(M2), obtemos uma nova matriz retangular onde os elementos abaixo da diagonal principal são transformados em zero:

>> triu(M2)
ans =
1 1 1 1
0 2 2 2
0 0 3 3

De maneira análoga, ao usar tril(M2), os elementos acima da diagonal são zerados, gerando o efeito oposto:

>> tril(M2)
ans =
1 0 0 0
2 2 0 0
3 3 3 0