Autovalores no Matlab
Neste tutorial, vamos explorar o cálculo de autovalores utilizando o Matlab.
O que são autovalores? Em termos simples, autovalores são soluções da equação característica associada a uma matriz quadrada.
Para ilustrar, consideremos um exemplo prático:
Primeiramente, crie uma matriz quadrada 2x2.
>> M = [ 1 2 ; 0 3 ]
M =
1 2
0 3
Para encontrar os autovalores da matriz, utilize a função eig(M).
>> eig(M)
ans =
1
3
Assim, os autovalores da nossa matriz quadrada são 1 e 3.
Confirmação: Analisando a matriz quadrada M $$ M = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} $$, o polinômio característico PM(λ) da matriz M é obtido pelo determinante de M menos λ vezes a matriz identidade (Id): $$ P_M(λ) = \det(M-\lambda \cdot Id) $$, onde M representa a matriz quadrada dada, Id é a matriz identidade correspondente, e λ uma variável. A partir disso, temos: $$ P_M(λ) = \det [ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} -\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ] $$ $$ P_M(λ) = \det \begin{pmatrix} 1- \lambda & 2 \\ 0 & 3-\lambda \end{pmatrix} $$ $$ P_M(λ) = (1-\lambda) \cdot (3-\lambda) $$ $$ P_M(λ) = 3 - 4\lambda + \lambda^2 $$ A equação característica é definida por PM(λ) = 0: $$ P_M(λ) = 0 $$ $$ \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0 $$ Os autovalores são as soluções dessa equação característica, que neste caso se traduz em uma equação quadrática. $$ \lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$ $$ \lambda = \frac{4 \pm \sqrt{16-12}}{2} $$ $$ \lambda = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} $$ $$ \lambda = \frac{4 \pm 2}{2} = \begin{cases} \lambda_1 = \frac{4-2}{2} = 1 \\ \\ \lambda_2 = \frac{4+2}{2} = 3 \end{cases} $$ Concluímos que os autovalores da matriz são, de fato, 1 e 3, confirmando o resultado obtido anteriormente.
