Operações com matrizes no Matlab

Nesta aula, vou explicar como realizar operações com matrizes usando o Matlab.

Primeiro, crie uma matriz quadrada M1 com duas linhas e duas colunas.

>> M1=[1 4;2 3]
M 1 =
1 4
2 3

Em seguida, crie outra matriz quadrada M2 com duas linhas e duas colunas.

>> M2=[3 1;7 5]
M2 =
3 1
7 5

Agora, com essas duas matrizes M1 e M2, vamos passar por alguns exemplos práticos de cálculos matriciais.

Adição de matrizes

Para realizar a adição de matrizes, use o operador de soma (+).

Digite M1+M2

>> M1+M2
resposta =
4 5
9 8

$$ M1 + M2 = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 7 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+3 & 4+1 \\ 2+7 & 3+5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 9 & 8 \end{pmatrix} $$

Subtração de matrizes

Para realizar a subtração de matrizes, use o operador de menos (-).

Digite M1-M2

>> M1-M2
resposta =
-2 3
-5 -2

$$ M1 - M2 = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 7 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-3 & 4-1 \\ 2-7 & 3-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -5 & -2 \end{pmatrix} $$

Multiplicação de matrizes

Para realizar a multiplicação de matrizes, use o operador de multiplicação (*).

Digite M1*M2

>> M1*M2
resposta =
31 21
27 17

$$ M1 \cdot M2 = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 7 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 3 + 4 \cdot 7 & 1 \cdot 1 + 4 \cdot 5 \\ 2 \cdot 3 + 3 \cdot 7 & 2 \cdot 1 + 3 \cdot 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 31 & 21 \\ 27 & 17 \end{pmatrix} $$

Note que a multiplicação matricial é chamada de multiplicação linha por coluna.

Você só pode realizar a multiplicação matricial entre duas matrizes se o número de colunas na primeira matriz (M1) for igual ao número de linhas na segunda matriz (M2).

Multiplicação elemento a elemento

A multiplicação elemento a elemento calcula o produto dos elementos que estão na mesma posição.

É um tipo diferente de multiplicação matricial em comparação com a multiplicação linha por coluna.

Para realizar a multiplicação elemento a elemento, use o operador de multiplicação ponto a ponto (.*).

>> M1 .* M2
resposta =
3 4
14 15

Na multiplicação elemento a elemento, ambas as matrizes devem ter o mesmo número de linhas e colunas.

$$ M1 \ .* \ M2 = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \ .* \ \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 7 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 3 & 4 \cdot 1 \\ 2 \cdot 7 & 3 \cdot 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 14 & 15 \end{pmatrix} $$

Multiplicação de uma matriz por um escalar

Para calcular o produto de uma matriz e um escalar, use o operador de multiplicação (*).

Por exemplo, para entrar 2*M1

>> 2*M1
resposta =
2 8
4 6

Os elementos da matriz são multiplicados pelo número escalar 2.

$$ 2 \cdot M1 = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 & 2 \cdot 4 \\2 \cdot 2 & 2 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 8 \\4 & 6 \end{pmatrix} $$

Divisão de matrizes

A divisão de matrizes pode ser alcançada multiplicando a primeira matriz pela matriz inversa da segunda, M1·M2^-1.

Para calcular a divisão de duas matrizes no Matlab, digite M1*inv(M2)

>> M1*inv(M2)
resposta =
-2.87500 1.37500
-1.37500 0.87500

Alternativamente, você também pode digitar M1/M2

Neste caso, o Matlab realiza automaticamente a inversão da segunda matriz.

>> M1/M2
resposta =
-2.87500 1.37500
-1.37500 0.87500

O resultado final é sempre o mesmo.

Divisão elemento a elemento de matrizes

A divisão elemento a elemento calcula o quociente entre elementos que estão na mesma posição.

É outro tipo de divisão de matrizes.

Para realizar a divisão elemento a elemento, use o operador ./

>> M1 ./ M2
ans =
0.33333 4.0000
0.28571 0.6000

No caso da divisão elemento a elemento, as duas matrizes devem ter o mesmo número de linhas e colunas.

$$ M1 \ ./ \ M2 = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \ ./ \ \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 7 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{4}{1} \\ \frac{2}{7} & \frac{3}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.33333 & 0.28571 \\ 4 & 0.6 \end{pmatrix} $$

Divisão de uma matriz por um escalar

Dividir uma matriz por um escalar é feito usando o operador de divisão (/).

Por exemplo, para dividir a matriz M1 por dois, insira M1/2

>> M1/2
ans =
0.50000 2.00000
1.00000 1.50000

Todos os elementos da matriz M1 são divididos pelo número escalar 2.

$$ \frac{M1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \cdot 1 & \frac{1}{2} \cdot 4 \\ \frac{1}{2} \cdot 2 & \frac{1}{2} \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.5 & 2 \\ 1 & 1.5 \end{pmatrix} $$

Exponenciação elemento a elemento de matrizes

Para elevar cada elemento de uma matriz ao mesmo

Por exemplo, para elevar os elementos da matriz M1 ao quadrado, digite M1.^2

>> M1.^2
ans =
1 16
4 9

$$ M1 \ \text{.^} \ 2 = \begin{pmatrix} 1^2 & 4^2 \\ 2^2 & 3^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 16 \\ 4 & 9 \end{pmatrix} $$

Determinante de uma matriz

O Matlab possui uma função específica para calcular o determinante de uma matriz quadrada. É a função det().

Por exemplo, para calcular o determinante da matriz M1, digite det(M1)

>> det(M1)
ans = -5

$$ \text{det} (M1) = det \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = 1 \cdot 3 - 4 \cdot 2 = -5 $$

Posto de uma matriz

Para encontrar o posto de uma matriz, use a função rank().

Por exemplo, para calcular o posto da matriz M1, digite rank(M1)

>> rank(M1)
ans = 2

O posto é igual a 2 porque o determinante da matriz 2x2 não é zero. $$ \text{det} (M1) = det \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = 1 \cdot 3 - 4 \cdot 2 = -5 $$

Traço de uma matriz

Para calcular o traço de uma matriz, use a função trace().

Por exemplo, para calcular o traço da matriz M1, digite trace(M1)

>> trace(M1)
ans = 4

O traço de uma matriz é igual à soma dos elementos na diagonal principal. $$ \text{trace} (M1) = \text{trace} \begin{pmatrix} \color{red}1 & 4 \\ 2 & \color{red}3 \end{pmatrix} = 1 + 3 = 4 $$

Transposição de uma matriz

Para transpor as linhas e colunas de uma matriz, use a função transpose().

Por exemplo, para transpor a matriz M1, digite transpose(M1)

>> transpose(M1)
ans =
1 2
4 3

Alternativamente, você pode usar o operador de transposição de matriz adicionando um apóstrofo após o nome da matriz.

>> M1'
ans =
1 2
4 3

Na transposição de uma matriz, as linhas da matriz tornam-se colunas e vice-versa. $$ \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} $$

Inversão de matriz

Para calcular a inversa de uma matriz, use a função inv().

Por exemplo, para calcular a inversa da matriz M1, digite inv(M1)

>> inv(M1)
ans =
-0.60000 0.80000
0.40000 -0.20000

A inversa da matriz M1 é uma matriz que, quando multiplicada por M1, resulta em uma matriz identidade. Uma matriz identidade é uma matriz com elementos iguais a 1 na diagonal principal e 0 em outros lugares. $$ M1 \cdot \text{inv} (M1) = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -0.6 & 0.8 \\ 0.4 & -0.2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

O polinômio característico

Para calcular o polinômio característico de uma matriz quadrada, você pode usar a função poly().

>> poly(M1)
resposta =
1 -4 -5