Função expand() do Matlab

Deixe-me apresentar uma função no Matlab, nomeada "expand()". Esta é especialmente útil quando estamos a lidar com polinómios e expressões algébricas.

expand(x)

Utilizando expand(x), o objetivo é desdobrar um polinómio ou uma expressão algébrica. A sintaxe é tão direta quanto invocar a função com a expressão que você deseja expandir como parâmetro.

Uma observação relevante é que "expand()" opera com cálculos simbólicos. Assim sendo, é imprescindível definir as variáveis do seu polinómio ou expressão como símbolos previamente.

Para ilustrar, permita-me demonstrar com um exemplo.

Considere o quadrado do binómio:

$$ (x+y)^2 $$

Neste binómio, temos duas variáveis, x e y. Primeiro, precisamos defini-las como símbolos.

>> syms x y

Posteriormente, definimos nosso binómio e atribuímos a uma variável.

>> P = (x+y)^2

Para desdobrar o quadrado do binómio, basta invocar "expand()" com o nosso binómio como parâmetro.

>> expand(P)

O resultado apresentado será:

ans =
x^2 + 2*x*y + y^2

O que é, efetivamente, a expansão do quadrado do binómio.

$$ (x+y)^2 = x^2 +2xy + y^2 $$

Vamos explorar outro exemplo.

Tome a expressão algébrica:

$$ (2x + 3y)^3 + (4x - 2y)^3 $$

Novamente, é necessário definir x e y como símbolos.

>> syms x y

E então, definimos nossa expressão.

>> E = (2*x+3*y)^3 + (4*x-2*y)^3

Para expandir a expressão, invocamos "expand()" com a nossa expressão como parâmetro:

>> expand(E)

O resultado será:

ans =
72*x^3 - 60*x^2*y + 102*x*y^2 + 19*y^3

Esta é a forma expandida da expressão.

$$ 72x^3 - 60x^2y + 102xy^2 + 19y^3 $$

Para validar o resultado, sempre é possível realizar os cálculos algébricos manualmente. Contudo, posso garantir que o Matlab é extremamente preciso. A demonstração algébrica subsequente confirma a correção do resultado. $$ (2x + 3y)^3 + (4x - 2y)^3 = $$ $$ = (2x)^3+3 \cdot (2x)^2 \cdot 3y + 3 \cdot 2x \cdot (3y)^2 + (3y)^3 + \\ \ \ \ +(4x)^3 + 3 \cdot (4x)^2 \cdot (-2y) + 3 \cdot (4x) \cdot (-2y)^2 + (-2y)^3 $$ $$ = 8x^3+ 36x^2y + 54xy^2 + 27y^3 +64x^3 - 96 x^2y + 48xy^2 -8y^3 $$ $$ = (8x^3+64x^3)+ (36x^2y- 96 x^2y) + (54xy^2 + 48xy^2) + (27y^3-8y^3) $$ $$ = 72x^3 - 60 x^2y + 102xy^2+ 19y^3 $$