Operações com Vetores no Matlab

Nesta lição, vou explicar os principais cálculos vetoriais no MATLAB usando exemplos práticos e simples.

Primeiro, defina um vetor.

>> v=[1; 3; 4;]

Depois, defina outro vetor no mesmo espaço.

>> w=[2; 1; -1]

Os dois vetores têm três componentes dispostos verticalmente, logo, são vetores coluna no espaço tridimensional (x, y, z).

Nota. Nestes exemplos, pedi para definir vetores coluna, mas você também pode definir vetores linha. Os cálculos vetoriais são os mesmos, independentemente de os vetores serem linha ou coluna.

Aqui estão algumas operações matemáticas que você pode realizar com os dois vetores no MATLAB.

Adição de Vetores

O operador para adição entre dois vetores é o sinal de mais (+).

Para adicionar os dois vetores no MATLAB, digite v + w

>> v+w
ans =
3
4
3

$$ \vec{v} + \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+2 \\ 3+1 \\ 4-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} $$

Subtração de Vetores

O operador para subtração entre dois vetores é o sinal de menos (-).

Para obter a diferença entre dois vetores, digite v - w

>> v-w
ans =
-1
2
5

$$ \vec{v} - \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-2 \\ 3-1 \\ 4-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} $$

Produto Escalar de Vetores

O operador para multiplicação entre dois vetores é o sinal de asterisco (*).

Neste caso, você definiu dois vetores coluna. Portanto, para calcular o produto escalar dos dois vetores, é preciso transpor um dos vetores para um vetor linha.

Para transpor um vetor, adicione um apóstrofo à direita do nome do vetor.

Por exemplo, multiplique o primeiro vetor v pela transposta do segundo vetor w'

>> v*w'
ans =
2 1 -1
6 3 -3
8 4 -4

$$ \vec{v} \cdot \vec{w}^T = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \cdot 2 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot (-1) \\3 \cdot 2 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot (-1) \\ 4 \cdot 2 & 4 \cdot 1 & 4 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 1 & -1 \\ 6 & 3 & -3 \\ 8 & 4 & -4 \end{pmatrix} $$

Você também pode transpor o primeiro vetor v' e multiplicá-lo pelo segundo vetor w.

No entanto, lembre-se de que a multiplicação vetorial não obedece à propriedade comutativa. Assim, o produto v'*w é diferente do produto v*w'.

>> v'*w
ans = 1

$$ \vec{v}^T \cdot \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + 4 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 3 - 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix} = 1 $$

Multiplicação Elemento a Elemento

A multiplicação elemento a elemento é outro tipo de multiplicação vetorial.

Neste caso, a operação calcula o produto dos elementos dos dois vetores que estão na mesma posição.

Para realizar a multiplicação elemento a elemento no Matlab, use o símbolo .* (ponto e asterisco).

>> v.*w
ans =
2
3
-4

Na multiplicação elemento a elemento, ambos os vetores v e w devem ser vetores linha ou coluna.

Além disso, os vetores v e w devem ter o mesmo número de componentes.

$$ \vec{v} \cdot \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \ .* \ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 \\ 3 \cdot 1 \\ 4 \cdot -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} $$

Multiplicação de um vetor por um escalar

Multiplicar um vetor por um escalar utiliza o mesmo operador da multiplicação regular, que é o asterisco *

Onde escalar refere-se a qualquer número arbitrário.

Por exemplo, para multiplicar o escalar 2 pelo vetor v no Matlab, digite 2*v.

>> 2*v
resposta =
2
6
8

$$ 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 3 \\ 2 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix} $$

A multiplicação de um vetor por um escalar segue a propriedade comutativa.

Portanto, você também pode escrever v*2. O resultado é o mesmo.

>> v*2
resposta =
2
6
8

$$ \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot 2 = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 \\ 3 \cdot 2 \\ 4 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix} $$

Divisão de um vetor por um escalar

O operador de divisão entre um vetor e um escalar é o símbolo / (barra).

Por exemplo, para dividir o vetor v pelo escalar 2 no Matlab, digite v/2

>> v/2
resposta =
0.5
1.5
2.0

$$ \frac{ \vec{v} }{2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{2} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{3}{2} \\ \frac{4}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.5 \\ 1.5 \\ 2 \end{pmatrix} $$

Divisão de vetores elemento a elemento

A divisão de vetores elemento a elemento envolve dividir os elementos de dois vetores que estão na mesma posição.

Para realizar esse tipo de divisão, use o símbolo ./ (ponto e barra)

>> v./w
resposta =
0.5
3
-4

Ambos os vetores na divisão elemento a elemento devem ser ou vetores linha ou vetores coluna.

Além disso, os dois vetores devem ter o mesmo número de elementos.

$$ \vec{v} \cdot \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \ ./ \ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{3}{1} \\ \frac{4}{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.5 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} $$

Exponenciação de vetores elemento a elemento

No Matlab, você também pode realizar a exponenciação elemento a elemento.

Essa operação eleva os elementos de um vetor ao mesmo expoente (número escalar).

Para realizar essa operação, use o operador .^

>> v.^2
resposta =
1
9
16

$$ \vec{v} \ \text{.^} \ 2 = \begin{pmatrix} 1^2 \\ 3^2 \\ 4^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 9 \\ 16 \end{pmatrix} $$

Se o expoente também for um vetor, essa operação eleva cada elemento do vetor base ao elemento do vetor expoente que está na mesma posição.

>> v.^w
resposta =
1
3
0.25

$$ \vec{v} \ \text{.^} \ \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \ \text{.^} \ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1^2 \\ 3^1 \\ 4^{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0.25 \end{pmatrix} $$

Neste caso, ambos os vetores devem ser ou vetores linha ou vetores coluna, e eles devem ter o mesmo número de elementos.

Norma de um vetor (Magnitude ou Comprimento)

Para calcular a norma euclidiana de um vetor, que é a magnitude (comprimento) do vetor, use a função norm().

>> norm(v)
resposta = 5.0990

$$ | \vec{v} | = \sqrt{1^2+3^2+4^2} = \sqrt{1+9+16} = \sqrt{26} = 5,099 $$