As operações do cálculo vetorial no Octave

Nesta lição vou explicar como realizar as principais operações do cálculo vetorial no Octave com alguns exemplos práticos.

Defina um vetor coluna em um espaço tridimensional.

>> v=[1; 3; 4;]

Defina outro vetor coluna no mesmo espaço

>> w=[2; 1; -1]

Aqui estão algumas operações matemáticas entre os dois vetores

Soma de dois vetores

Para somar os dois vetores, digite v+w

>> v+w
ans =
3
4
3

Explicação. $$ \vec{v} + \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+2 \\ 3+1 \\ 4-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} $$

Diferença entre dois vetores

Para subtrair os dois vetores, digite v-w

>> v-w
ans =
-1
2
5

Explicação. $$ \vec{v} - \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-2 \\ 3-1 \\ 4-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} $$

Multiplicação entre dois vetores

Para multiplicar dois vetores coluna, você deve transformar um dos dois vetores em um vetor linha através de uma transposição.

Para transpor um vetor no Octave, basta adicionar um sobrescrito à direita do nome da variável da matriz.

>> v*w'
ans =
2 1 -1
6 3 -3
8 4 -4

Explicação. $$ \vec{v} \cdot \vec{w}^T = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \cdot 2 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot (-1) \\3 \cdot 2 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot (-1) \\ 4 \cdot 2 & 4 \cdot 1 & 4 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 1 & -1 \\ 6 & 3 & -3 \\ 8 & 4 & -4 \end{pmatrix} $$

A multiplicação entre vetores não respeita a propriedade comutativa. Portanto, multiplicar v '* w retorna um resultado diferente de v * w'

>> v'*w
ans = 1

Explicação. $$ \vec{v}^T \cdot \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + 4 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 3 - 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix} = 1 $$

Multiplicação de vetores elemento por elemento

Este é outro tipo de multiplicação de vetores. A multiplicação elemento por elemento calcula o produto dos elementos dos vetores na mesma posição.

Para fazer esse tipo de multiplicação, você deve usar o símbolo do operador .*

>> v*w
ans =
2
3
-4

Na multiplicação elemento por elemento, os dois vetores devem ser ambos vetores de linha (ou ambos vetores de coluna) e ter o mesmo tamanho.

Explicação. $$ \vec{v} \cdot \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \ .* \ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 \\ 3 \cdot 1 \\ 4 \cdot -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} $$

Multiplicação do vetor por um escalar

Para multiplicar um vetor por um número escalar, por exemplo k = 2, basta escrever 2*v

>> 2*v
ans =
2
6
8

Explicação. $$ 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 3 \\ 2 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix} $$

Divisão do vetor por um escalar

Da mesma forma, você pode dividir o vetor por um escalar

>> v/2
ans =
0.5
1.5
2.0

Explicação. $$ \frac{ \vec{v} }{2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{2} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{3}{2} \\ \frac{4}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.5 \\ 1.5 \\ 2 \end{pmatrix} $$

Nesses exemplos, usei vetores de coluna, mas as indicações são válidas mesmo se você usar vetores de linha.

Divisão de vetores elemento por elemento

Este é outro tipo de divisão entre dois vetores. A divisão elemento por elemento calcula o quociente dos elementos dos vetores na mesma posição.

Para fazer esse tipo de divisão, você deve usar o símbolo do operador ./

>> v./v
ans =
0.5
3
-4

Na divisão elemento por elemento, os dois vetores devem ser ambos vetores de linha (ou ambos vetores de coluna) e ter o mesmo tamanho.

Explicação. $$ \vec{v} \cdot \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \ ./ \ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{3}{1} \\ \frac{4}{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.5 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} $$

Exponenciação do vetor elemento a elemento

A exponenciação elemento a elemento eleva os elementos do vetor ao mesmo expoente.

Para realizar esse tipo de operação, você deve usar o símbolo do operador .^

>> v.^2
ans =
1
9
16

Na exponenciação elemento a elemento, os dois vetores devem ser ambos vetores de linha (ou ambos vetores de coluna) e ter o mesmo tamanho.

Explicação. $$ \vec{v} \ \text{.^} \ 2 = \begin{pmatrix} 1^2 \\ 3^2 \\ 4^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 9 \\ 16 \end{pmatrix} $$